Учет нелинейных слагаемых в методе малого параметра при решении задачи о двухкомпонентном материале с искривленной межфазной границей

В представленной работе рассматривается влияние нелинейных слагаемых в методе малого параметра решения задачи о двухкомпонентном материале с искривленной межфазной границей. Для учета влияния межфазного слоя используется модель поверхностной упругости Гертина-Мердока, согласно которой, этот слой представляется в виде упругой мембраны, которая когерентно связана с основным материалом и отличается по своим свойствам от объемных фаз. Условия механического равновесия описываются с помощью обобщенного закона Юнга-Лапласа. Используя метод возмущений вместе с комплексными потенциалами Гурса-Колосова и подходом Мусхелешвили, поставленная краевая задача на каждом шаге асимптотического приближения сводится к гиперсингулярному интегральному уравнению. В качестве результатов численного решения представлены графики распределения окружных напряжений вдоль искривленного межфазного рельефа. Вo второй части работы приводится решение поставленной задачи методом конечных элементов, результаты решения сравниваются с решением метода возмущений, исследуется сходимость обоих методов и определяются зависимости коэффициента концентрации напряжений от основных параметров задачи.

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Глава 1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Глава 2. Метод возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Глава 3. Численные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Глава 4. Метод конечных элементов . . . . . . . . . . . . . . 19
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

В представленной работе была рассмотрена континуальная модель
двухкомпонентного материала с наноразмерными топологическими дефек-
тами межфазной границы. На основе определяющих Гертина-Мердока и
плоской теории упругости была сформулирована и решена соответсвующая
краевая задача. С использованием комплексных потенциалов и метода ма-
лого параметра исследовано распределение окружных напряжений вдоль
межфазного рельефа синусоидальной формы, а также зависимость ко-
эффициента концентрации напряжений от геометрических и физических
параметров задачи. Проведен анализ сходимости полученного асимптотиче-
ского решения, при этом результаты расчета сравнивались с аналогичными
результатами, полученными методом конечных элементов. Было показано,
что сходимость представленного решения зависит от отношения амплитуды
к длине волны возмущения ε = A/a, а также относительной жесткости рас-
сматриваемой двухфазной системы r = µ1 /µ2 . С увеличением параметра ε
необходимо учитывать большее количество членов ряда в асимптотическом
разложении. Увеличение параметра r от 0 до 1 приводит к противополож-
ному эффекту.
Полученные результаты помогут в дальнейшем более точно оцени-
вать напряженное состояние слоистых нанокомпозитов с искривленными
межфазными границами, что довольно актуально при разработке и ис-
пользовании устройств микро- и оптоэлектроники. В качестве дальнейшего
продолжения начатых исследований имеет смысл рассмотреть влияние
формы рельефа. Такое исследование существенно расширит область при-
менения представленного в работе метода, так как поверхность твердого
тела, подвержанная электрическому, химическому либо термическому воз-
действия, может менять свою форму от слабого возмущения до острых
трещинообразных впадин.

1. Kim D.-H. et al. Stretchable and foldable silicon integrated circuits //
Science. — 2008. — Vol. 320. — Pp. 507–511.