Центральность игроков в коалиционной игре

Теория графов применяется при решении многих практических задач, например, логистики, маршрутизации данных в интернете и химии. Одним из важных значений при решении практических задач является централь- ность вершины. Центральность вершины в графе – это некоторый класс значений, который показывает важность соответствующей вершины. Для выяснения того, насколько заданная вершина значима в графе, применя- ется несколько различных метрик центральности, которые употребляются в зависимости от типа задачи. Всего существует четыре основных класса центральности [9], [11]:
1. Степень вершины – показывает со сколькими вершинами она смежна.
2. Closeness – насколько близко ко всем остальным вершинам графа на- ходится вершина (относительно расстояния).
3. Betweenness – важность вершины относительно связи между другими вершинами. Если удалить важную вершину, то минимальное рассто- яние между другими вершинами графа увеличится или граф пере- станет быть связным.
4. Вычисление центральности относительно соседних вершин и соседей их соседей (используя собственный вектор матрицы смежности).
В моей работе я застрагиваю первые три класса метрик центральности. Коалиционная (или кооперативная) игра – это тип игры, в которой иг- роки объединяются в коалиции для получения большего выигрыша в срав- нении с тем выигрышем, который каждый игрок получил бы, действуя в одиночку. Первоначально теорию игр (в частности коалиционные игры) ис- пользовали для объяснения поведения игроков в экономике при различных
3
ситуациях, а также поиска наилучшего поведения. В данный момент тео- рия игр используется в различных областях науки для анализа поведение людей и животных.
В моей работе рассматривается коалиционная игра, заданная на графе. Впервые такая задача была поставлена в статье [2]. Граф в этом случае по- казывает возможность объединиться в коалицию с каким-либо игроками. Я рассматриваю связные коалиции, то есть у каждого игрока есть связь с другими игроками, как минимум через других игроков. Фукнцией вы- игрыша в рассматриваемой задаче является центральность игрока в гра- фе. Подсчет выигрыша игрока происходит следующим образом: удаляются любые связи игрока с игроками из других коалиций и подсчитывается его центральность. При переходе игрока в другую коалицию все связи игрока с игроками из прошлой коалиции разрываются и восстанавливаются связи с игроками из коалиции, в которую он переходит.
Одна из задач в коалиционной (кооперативной) теории игр заключается в нахождении устойчивой коалиционной структуры, то есть такого разби- ения игроков, при котором в своей коалиции игрок получит выигрыш не меньше, чем в любой другой коалиции в этом разбиении. Впервые устойчи- вость коалиционных структур была представлена в статьях [4], [8] и была основана на равновесии по Нэшу [10] для некооперативных игр.
В моей работе я исследую различные типы графов и различные разби- ения игроков на коалиции для поиска устойчивых коалиционных структур относительно метрик центральности. Необходимо ответить на два вопроса:
1. Является ли заданная коалиционная структура на графе устойчивой?
2. Существует ли устойчивые коалиционные структуры в заданном гра- фе? Если да, то найти их.
4

Работа имеет следющую структуру:
• Во 2 главе представлена формальная постановка задачи и вводятся необходимые определения.
• В 3 главе представлены основные теоретические результаты моей ра- боты.
• В 4 главе показаны практические результаты работы: разработка ал- горитма, его оптимизация и численный эксперимент для сравнения времени работы алгоритмов.