Стохастические задачи с генераторами полугрупп операторов в гильбертовых пространствах : диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук : 01.01.01

Введение 3

1 Линейные стохастические задачи с дифференциальными опера-
торами 20
1.1 Определения и вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Стохастическая задача Коши для процесса распространения тепла
в стержне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Обобщенные решения стохастических задач с дифференциальными
операторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Обобщенные решения квазилинейных задач в абстрактных сто-
хастических фактор-алгебрах 51
2.1 Определение абстрактной стохастической
фактор-алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Постановка и решение задачи в абстрактной стохастической фактор-
алгебре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Связь стохастических задач с детерминированными задачами для
вероятностных характеристик 66
3.1 Свойства процесса, определяемого стохастическим уравнением . . . 67
3.2 Бесконечномерные уравнения Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . 77

Заключение 83

Список литературы 84

В диссертационной работе проведено исследование стохастических задач Коши
для дифференциально-операторных уравнений первого порядка с генераторами
различных полугрупп операторов в гильбертовых пространствах. Такие задачи
возникают как математические модели реальных процессов изучаемых в популя-
ционной динамике, физике и финансовой математике.
Изучение абстрактных стохастических задач в диссертационной работе про-
ведено по двум основным направлениям. В первых двух главах диссертации по-
строены решения бесконечномерных стохастических задач Коши. В третьей гла-
ве исследована связь между бесконечномерными стохастическими уравнениями и
детерминированными уравнениями для вероятностных характеристик процесса,
определяемого стохастической задачей. Получены следующие основные результа-
ты.

• Доказано, что процесс распространения тепла (диффузии) в стержне конеч-
ной длины с учётом случайных тепловых воздействий, моделируемых с по-
мощью броуновского листа, является решением абстрактной стохастической
задачи Коши. Установлена связь броуновского листа с L2 [0; l]-значным Q-
винеровским процессом и связь приращений броуновского листа с прираще-
ниями цилиндрического винеровского процесса.

• Построено обобщённое по пространственной переменной решение линейной
стохастической задачи Коши с дифференциальным оператором-матрицей A =
∂
A(i ∂x ), порождающим различные R-полугруппы.

• Построено обобщённое по временной переменной решение квазилинейной сто-
хастической задачи Коши с генератором интегрированной полугруппы в аб-
страктной стохастической фактор-алгебре.

• Получены детерминированные уравнения для вероятностных характеристик
процесса, определяемого стохастическим квазилинейным уравнением с гене-
ратором полугруппы класса C0 .

Ключевую роль в проведённых исследованиях играют методы теории полу-
групп операторов в банаховых пространствах и методы теории обобщенных функ-
ций.
Полученные результаты вносят вклад в развитие теории стохастических диф-
ференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах и могут быть ис-
пользованы для исследования различных процессов, возникающих в различных
областях естествознания и финансовой математики.
В качестве возможных направлений продолжения исследований можно указать
построение обобщенных решений для квазилинейных задач с генераторами кон-
волюционных и регуляризованных полугрупп, а также исследование связи между
стохастическими задачами с генераторами указанных типов полугрупп и соот-
ветствующими детерминированными уравнениями для вероятностных характери-
стик.

[1] Альшанский М.А., Мельникова И.В. Регуляризованные и обобщенные реше-
ния бесконечномерных стохастических задач // Математический сборник,
2011, № 11. C. 3–30.