О спектральных свойствах операторов, порожденных некоэрцитивными эрмитовыми формами

Теория смешанных краевых задач для эллиптических дифференциальных
операторов второго порядка активно развивалась в течение всего послед-
него столетия. Различные варианты таких задач рассматривались многими
математиками с начала XX века. Так, еще в 1910 году С. Заремба в своей
работе [69] описал условия разрешимости смешанной задачи для операто-
ра Лапласа в области с гладкой границей и непрерывными начальными
данными Неймана и Дирихле на разных кусках границы.
Бурное развитие теории эллиптических задач пришлось на начало вто-
рой половины XX века, чему способствовали работы таких математиков
как С. Агмон, А. Дуглис и Л. Ниренберг [1], Ж.-Л. Лионс и Э. Мадженис
[19], Ф. Браудер [36], С. Кампанато [37] и многие другие. Существенную
роль в развитии краевых задач в целом и эллиптических задач в частно-
сти сыграли работы М.С. Соболева, Л.Н. Слободецкого, О.А. Ладыжен-
ской, Н.Н. Уральцевой и других известных ученых.
Одним из результатов явилось то, что, как оказалось, в случае, когда
граница области является гладкой и выполнено условие коэрцитивности
(см. (1.12) ниже), то фредгольмовость задачи эквивалентна так называе-
мому условию Шапиро – Лопатинского (см., например, [28] или [20]). Одна-
ко, в случае негладкой границы необходимо более детальное исследование
проблемы.
Отметим, что при решении смешанных задач чаще всего пользуются
либо методом потенциалов, либо методом эрмитовых форм и слабых ре-
шений. Идя вторым путем, на соответствующую эрмитову форму часто
накладывают условие коэрцитивности, которое автоматически позволяет
получить достаточно гладкое решение задачи вплоть до границы области,
где ищется решение, если данные задачи также являются достаточно глад-
кими.
Однако, Ж. Кон в своей работе [50] при изучении ∂-задачи Неймана
столкнулся с феноменом так называемой субэллиптичности. Именно, в этой
задаче, при выполнении условия сильной эллиптичности, происходит по-
теря гладкости решения вблизи границы. Тем не менее, Ж. Кону удалось
доказать фредгольмовость задачи на шкале пространств соболевского типа
в псевдо-выпуклых областях с гладкой границей.
В настоящей работе рассматриваются операторные уравнения, порож-
денные некоэрцитивными эрмитовыми формами, соответствующими неко-
эрцитивным смешанным краевым задачам с граничными условиями ро-
беновского типа для сильно эллиптических дифференциальных операто-
ров в произвольных областях с липшицевой границей. При этом, вместо
условий на геометрические свойства области мы накладываем некоторые
ограничения на граничные операторы, более слабые, чем условия Шапиро-
Лопатинского.
Наряду с этим мы также рассматриваем некоэрцитивные эрмитовы
формы, соответствующие смешанным задачам для эллиптических с пара-
метром операторов. Мотивацией для изучения таких задач является тот
факт, что, использование преобразования Фурье по параметру выявляет
тесную связь между эллиптическими с параметром задачами и начально
краевыми задачами для параболических уравнений, см., например, работу
М.С. Аграновича и М.И. Вишика [2], где рассмотрена задача с постоян-
ными комплексными коэффициентами в области с гладкой границей при
выполнении условия Шапиро-Лопатинского с параметром и доказана од-
нозначная разрешимость этой задачи при достаточно больших по модулю
значениях параметра.
Дальнейшее развитие теории эллиптических с параметром краевых за-
дач можно наблюдать в работах таких математиков как Р. Денк и Л. Во-
левич [39], А.С. Маркус [53], Б.В. Пальцев [54], Н.Н. Тарханов и А.А. Шла-
пунов [60] и многих других. В настоящей работе рассматривается неко-
эрцитивная задача для эллиптического с параметром дифференциального
оператора второго порядка. Мы также доказываем однозначную разреши-
мость таких задач при достаточно больших по модулю значениях парамет-
ра, позволяя при этом “слабо” меняться аргументу функции, содержащую
этот параметр.
Таким образом, ослабляя условия на граничные дифференциальные
операторы, мы, тем не менее, доказываем фредгольмовость соответству-
ющих операторных уравнений в специальных пространствах соболевского
типа (с некоторой потерей гладкости, по сравнению с классическим ре-
зультатами теории смешанных краевых задач), и при этом не накладывая
ограничений на геометрические свойства области. Наряду с теорией разре-
шимости операторных уравнений, порожденных некоэрцитивными эрмито-
выми формами, мы также изучаем их спектральные свойства и доказываем
полноту корневых векторов соответствующих операторов в рассматривае-
мых пространствах.
Цель диссертационной работы – найти подходящие функциональ-
ные пространства для решения некоэрцитивных смешанных задач, отыс-
кать условия разрешимости соответствующих операторных уравнений и
доказать полноту систем их корневых векторов.
Основные результаты работы:
1. Доказана теорема вложения в шкалу пространств Соболева-Слобо-
децкого для пространств соболевского типа, порожденных некоэрцитивны-