Динамика межфазных границ в процессах кристаллизации расплавов: теория и моделирование : диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук : 01.04.14

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Глава 1. Литературный обзор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Математическое моделирование дендритного роста . . . . . . . . 11

1.2 Гиперболическое уравнение диффузии . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Эллиптический параболоид и сфероид как формы растущего

кристалла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Метод граничных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.1 Стационарный дендритный рост . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.2 Метод граничных интегралов для гиперболической

задачи массопереноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5 Отборное соотношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6 Выводы по главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Глава 2. Исследование дендрита, растущего в форме

эллиптического параболоида, методом граничных

интегральных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1 Аналитические решения интегральных уравнений для

параболических форм растущего дендрита . . . . . . . . . . . . . 42

2.2 Температурное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Распределение примеси при малых скоростях роста . . . . . . . . 48

2.4 Распределение примеси при больших скоростях роста . . . . . . . 49

2.5 Конвективный тепломассоперенос при малых скоростях роста . . 51
Стр.

2.6 Отборное соотношение для эллиптического параболоида . . . . . 57

2.7 Выводы по главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Глава 3. Форма поверхности дендрита в пределе высоких

скоростей роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1 Анализ интегральных вкладов из граничного интеграла в

пределе больших чисел Пекле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Численное моделирование поверхности дендрита в пределе

высоких скоростей роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3 Выводы по главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Глава 4. Нестационарная стадия дендритного роста . . . . . . . . 76

4.1 Аналитическое решение в случае постоянной кривизны . . . . . 77

4.2 Нестационарная скорость роста дендрита для произвольной

кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3 Оценка времени нестационарной стадии роста . . . . . . . . . . . 84

4.4 Оценка времени нестационарного периода роста для вторичных

ветвей дендрита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5 Выводы по главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Список основных сокращений и условных обозначений . . . . . . 97

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

В диссертации проводится физико-математическое моделирование денд­

ритной кристаллизации. Развито теоретическое описание роста дендрита, име­

ющего неосесимметричную форму, найдены характерные параметры вершины

такого дендрита. Проанализирована функция формы дендритной поверхности

в пределе больших чисел Пекле. Исследована стадия нестационарного роста

дендрита, найдены выходящие на стационарное значение зависимости скорости

роста от времени. Получены оценки длительности нестационарного периода ро­

ста, определяющиеся переохлаждением жидкого расплава, как для вершины

дендрита, так и для его вторичных ветвей.

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Методом граничных интегралов рассчитаны поля температуры и кон­

центрации примеси вокруг дендрита, имеющего форму эллиптического

параболоида, как для малых, так и для больших скоростей роста.

Найдено общее переохлаждение, реализующееся на поверхности неизо­

термического дендрита, растущего в бинарной системе. Полученные

решения допускают предельные переходы к ранее известным. Пока­

зано, что для дендрита, растущего в форме параболоида вращения

в набегающем потоке жидкой фазы, температура на оси симметрии

убывает заметно медленнее, чем для дендрита, имеющего форму эл­

липтического параболоида.

2. Предложен полуэмпирический метод получения отборного соотно­

шения для неосесимметричных форм дендритов. Для определения

трех неизвестных характеристик вершины дендрита, растущего в
форме эллиптического параболоида (скорости роста и средней кривиз­

ны поверхности, в которую входят два радиуса вписанных плоских

окружностей), предлагается использовать три уравнения: баланс пе­

реохлаждений, критерий отбора устойчивой скорости в одной из

плоскостей и соотношение радиусов вписанных окружностей. Посколь­

ку растущий с постоянной скоростью дендрит сохраняет свою форму,

отношение радиусов вписанных окружностей также должно быть кон­

стантой.

3. Найдена асимптотика формы поверхности дендритов, растущих при

высоких переохлаждениях. Оценка слагаемых общего уравнения, полу­

ченного методом граничных интегралов, показала, что при возрастании

термического и концентрационного чисел Пекле интегральные вклады,

зависящие от формы поверхности, стремятся к нулю. В таком случае

форма поверхности определяется термодинамическим условием равно­

весия на границе раздела фаз. Если поверхностная энергия изотропна,

то дендрит приобретает сферическую форму. Анизотропия поверхност­

ной энергии искажает сферические формы в соответствии с симметрией

растущего кристалла.

4. Проведено численное моделирование формы поверхности дендритов,

растущих при высоких переохлаждениях и сравнение с асимптотиче­

ским приближением.

5. Получена оценка времени нестационарной стадии роста вершины денд­

рита, а также его вторичных ветвей. Из модифицированного уравнения

Гиббса-Томсона, учитывающего зависимость температуры поверхности

от кривизны, поверхностной энергии, скорости и ускорения роста денд­

рита, аналитически рассчитана зависимость скорости роста от времени,
при фиксированной (не зависящей от переохлаждения) кривизне. Для

малых чисел Пекле выведена зависимость времени нестационарной

стадии от переохлаждения. Показано, что полученные значения про­

должительности нестационарного периода роста дендрита могут быть

меньше общего времени затвердевания всего образца.

Перспективы дальнейшей разработки темы исследования. По­

лученные результаты могут быть использованы для моделирования роста

неосесимметричных дендритов. В дальнейшем планируется получить трех­

мерный неосесимметричный критерий отбора из микроскопического условия

разрешимости. Теория нестационарного роста беспримесных дендритов из од­

нокомпонентного расплава может быть дополнена также рассмотрением случая

роста сплавного дендрита из бинарного (многокомпонентного) раствора.
Список основных сокращений и условных обозначений

концентрация примеси

удельная теплоемкость при постоянном давлении

коэффициент диффузии

коэффициент температуропроводности

анизотропная капиллярная длина

средняя кривизна поверхности кристалла

0 химический коэффициент сегрегации

равновесный коэффициент наклона линии ликвидуса

единичный вектор нормали к поверхности дендрита

удельная скрытая теплота плавления

температура

0 температура кристаллизации чистого материала

время

скорость роста

скорость диффузии в жидкой фазе

, , декартовы прямоугольные координаты

Греческие символы:

β анизотропный коэффициент кинетики роста

γ анизотропный коэффициент кинетики роста

ζ поверхностная функция

θ угол между нормалью к поверхности и предпочтитель­

ным направлением роста

∆ пресыщение

∆ изобарно – изотермический потенциал
∆ переохлаждение

ρ диаметр вершины дендрита

ξ, η, ϕ параболоидальные ортогональные координаты

1.Гудилин Е. А., Елисеев А. А. Процессы кристаллизации в химическом